來源 | Quanta Magazine
編譯 | 張二七
審校 | 吳非
“老媽，我褲子上破了幾個洞，幫我縫一下吧!”
“沒問題，多大的洞啊?”
“洞的形狀都挺怪的，不過任意兩點的距離都不超過1厘米。”
媽媽翻出了一些碎布頭，形狀都是直徑1厘米的圓形，她認為這樣應該就足夠補上各種形狀的洞了。不過真的是這樣嗎?想要蓋住形狀各異，但最寬不超過1厘米的破洞，直徑1厘米的圓形補丁真的夠用嗎?
圓形的“補丁”
讓我們假設你的褲子上破了一個三角形的洞，這是一個邊長1厘米的等邊三角形——因此三角形中任意兩點間的距離都不會超過1厘米，符合我們在開頭對洞的要求。但是你會發現，直徑1厘米的圓形補丁并不能完全蓋住這個洞。
直徑1厘米的圓形并不能完全覆蓋邊長為1厘米的等邊三角形。(若無特殊標注，本文圖片均來自Quanta Magazine)
經過簡單的計算，你就能理解這個道理。圓的半徑是0.5厘米，但等邊三角形中心到頂點的距離是√3/3 ≈0.58厘米——大于圓的半徑，這個圓當然就無法覆蓋到三角形的頂角了。
當然了，最保險的方法就是準備一大塊布，這樣什么洞都能補上了，就是有些浪費。那么問題來了：能不能找到面積最小的一塊布，讓它能夠補上任意形狀的，寬不超過1厘米的洞呢?
萬有覆蓋問題
在數學中，這被稱為“萬有覆蓋問題”(universal covering problem)。這個問題是亨利·勒貝格(Henri Lebesgue)在1914年寫給另一位數學家朱利葉斯·帕爾(Julius Pál)的一封信中提出的。這個問題的說法有很多種，但它們的核心都是寬度為1，也就是在平面上有一個圖形，圖形中任意兩點間的距離都不超過1。勒貝格的萬有覆蓋問題，就是要求找到一個面積最小的圖形，使其能夠“覆蓋”所有寬度為1的圖形。
這個看似簡單的問題其實已經困擾了數學家們一百多年，甚至到了現在，他們依然沒有找到最終答案。如果只要求能夠覆蓋所有寬度為1的洞，那么我們有很多的選擇，但要找出面積最小的那個就很困難了。
為了討論這個問題，讓我們先假想出任意一個寬度為1的形狀R，雖然不知道它長什么樣子，但其中一定存在相距1單位長度的兩個點，我們稱之為A點和B點。
那么現在想象形狀R中的第三個點C，C可能存在于哪些區域呢?首先，C點到A點的距離一定不能超過1。也就是說，我們以A為圓心，1單位長度為半徑畫一個圓A，C點一定在這個圓內(或圓周上)。
同樣的，C點到B點的距離也不能超過1單位長度，那么我們以B點為圓心，1為半徑作圓B的話，C點也應該在這個圓的范圍內。
由于C點應該既在圓A中，也在圓B中，那么C點就應該落于兩圓的重合區，也就是下圖這個“橄欖球”形狀中。
不止C點，形狀R中的其他點也需要滿足相同的條件，因此形狀R中的所有點都應落在上圖的“橄欖球”中。換句話說，這個形狀能夠覆蓋所有可能的形狀R，那么它就是一個“萬有覆蓋”圖形。
不過這塊“橄欖球”布料還是太大了，讓我們試著剪掉一部分。
首先，添加兩條與線段AB平行的直線(如下圖)，使其與AB的距離均為1/2，因此這兩條直線間的距離就是1單位長度。
現在我們得到了這樣的兩塊紅色區域Ⅰ和Ⅱ，它們之間的最短距離為1。或者說，Ⅰ中的任意一點，與Ⅱ中的任意一點的距離一定大于1。
想象一下，如果形狀R包含了Ⅰ區域中的某些點，那么這些點到Ⅱ區域中任意一點的距離一定會大于1，這就違背了我們對形狀R的要求。也就是說，此時的形狀R一定不能與Ⅱ區域重疊。因此，在Ⅰ和Ⅱ區域中，我們就可以剪掉一個了。這樣得到的“美妝蛋”一樣的形狀，依然是一個萬有覆蓋圖形。
在裁剪之前，我們用到的“布料”面積是2π/3-√3/2≈ 1.228，而剪完后，“布料”的面積變成了π/2-1/2 ≈ 1.071。請記住我們得到這個“美妝蛋”的過程——從最容易想到的圖形出發，通過不斷裁剪多余的部分，我們就能獲得面積更小的萬有覆蓋圖形。
這也正是數學家們探索面積最小的萬有覆蓋圖形的方法，不過他們是從六邊形開始的。
“帕爾六邊形”
還記得勒貝格的那位數學家朋友帕爾嗎?在收到勒貝格的來信后不久，帕爾就利用等寬曲線的性質證明，對邊相距為1的正六邊形就能做到萬有覆蓋(等寬曲線是指曲線上任何一對平行切線的距離都相等的曲線，圓就是最常見的一種等寬曲線)。
“帕爾六邊形”的面積比我們的“美妝蛋“更小了，其面積為√3/2≈0.866。不過，帕爾并不滿足于此，他發現這個六邊形還能再剪掉幾個角。
我們知道，正六邊形的旋轉對稱角是60°。那么將另一個六邊形繞中心旋轉30°，再疊在原先的六邊形上，我們就能給原先的六邊形切出六個角，對應下圖中的紅色區域。
還記得我們是如何將“橄欖球”剪掉一個角，變成“美妝蛋”的嗎?接下來的步驟和我們之前的裁剪過程非常相似。
首先，每一組相對的小三角間的距離都是1單位長度，因此每一對紅色三角中都有一個可以被裁去。我們當然希望能夠剪掉三個——也就是每對中的一個。然而，如果真的剪掉三個角的話，這個圖形就無法滿足萬有覆蓋條件了。
根據六邊形的對稱性，如果某個圖形占據了六個小三角中的三個時，它可能會出現兩種情況：連續的三個角(左圖)，或是相間的三個角(右圖)。我們在圖里用藍色和紅色來表示這兩種情況。
如果我們的形狀R占用了左圖中的三個藍色三角區域，那么我們就無法在剪掉右側圖形中的三個紅色三角的情況下，將其覆蓋。反之也是一樣，如果我們剪掉了左側圖形中的三個紅色三角，那么當形狀R占據了右圖中藍色區域的三個三角時，新的圖形也無法將R覆蓋了。
不過就算不能同時修剪掉三個角，我們至少可以裁掉兩個。如果我們剪掉既不相鄰也不相對的兩個紅色三角形區域的話，就不會出現上述的問題了，而這就是帕爾所做的。
帕爾剪掉了六邊形的兩個角，這樣得到的新圖形仍然能夠覆蓋所有寬度為1的形狀。這個新圖形的面積是2-2√3/3≈0.8453，比帕爾六邊形的面積減少了約0.0207。
不斷地修剪
接下來的修剪工作就愈發艱難了。在帕爾的工作基礎上，1936年，數學家羅蘭·斯普拉格(Roland Sprague)移除了面積為0.001的一塊小碎片。隨后，在1992年，H·C·漢森(H。 C。 Hansen)從右下角和左下角裁去了0.00000000004個平方單位的面積(小數點后10個0，不用數了)。
2014年，一位本職是軟件工程師的業余數學家(雖然說是業余，但是人家也有數學的博士學位)菲利普·吉布斯(PhilipGibbs)選擇了一種簡單粗暴的解答思路——先看答案，再想過程。他用計算機隨機生成了200個寬度為1的圖形，把他們疊到一起，然后以其覆蓋的形狀為線索，找出了對過去萬有覆蓋圖形的頂部的修整方法。他的證明于2015年發表，該論文將此前的萬有覆蓋圖形再次縮小了0.0000224平方單位。
菲利普·吉布斯與帕爾六邊形(圖片來源：Philip Gibbs)
這項成果給了吉布斯很大的信心，在他2018年發表的另一篇文章中，他又剪掉了“一大塊”區域，使萬有覆蓋面積從0.8441153降到了0.84409359平方單位。
灰色的部分是吉布斯裁剪的角(圖片來源：Philip Gibbs)
從1914年至今，數學家們一直在尋找最小的萬有覆蓋圖形，他們能走多遠呢?2005年，彼得·布拉斯(Peter Brass)和梅爾博德·沙里夫(Mehrbod Sharifi)證明，萬有覆蓋面積不能小于0.832平方單位。因此我們知道，留給數學家裁剪的區域已經不多了。
不過大家也可以試著提出一種新技術，又或是裁剪的新起點，或許你也能像那位業余數學家一樣，更加逼近最小的萬有覆蓋圖形。
